Konu 2 - LTI

Linear Time Invariant (LTI)
Doğrusal zamanla değişmez sistemlerin ilk söylenmesi gereken özellikleri çıkışlarının, girişlerindeki sinyalle kendi impulse response larının katlanmış hali olmasıdır.

y[n] = x[n] * h[n]
y[n] = (k=-∞)∑(∞) x[k]h[n - k]

Bu katlama işleminin sonucunda, iki fonksiyonun eleman sayılarının toplamının bir eksiği kadar eleman açığa çıkar. Yani x'in M tane h'nin de N tane elemanı varsa y'nin M + N - 1 tane elemanı olacaktır. İşlem fiziksel olarak x[n] sinyalinin, impulse response u h[n] olan sisteme girmesi durumunda alınacak çıktı olarak yorumlanabilir.

Paralel bağlı sistemler
Paralel bağlı sistemlerin girişine uygulanan tek bir girişin oluşturacağı çıkış şöyle olacaktır:

x[n] * (h1[n] + h2[n]) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n]

buraya paralel bağlı sistemlerin bir diyagramı konulacak

Seri bağlı sistemler
Seri bağlı sistemlerde, sistemlerin impulse response larının katlanması tek bir sistem varmış gibi hesap yapılabilmesine imkan verir.

h[n] = h1[n] * h2[n]
x[n] * h[n] = x[n](h1[n] * h2[n])

buraya seri bağlı sistemlerin bir diyagramı konulacak

Doğrusal Kesikli Zaman Frekans Bölgesi
Az önceki katlama işleminde x[n] sinyalinin yerine exp(jwn) yazılırsa ve katlama işlemi bu şekilde yapılırsa sistemin frekans tepkisi elde edilir.

y[n] = (k=-∞)∑(∞) h[k]x[n - k]
y[n] = (k=-∞)∑(∞) h[k]exp(jw(n-k))
y[n] = exp(jwn) (k=-∞)∑(∞) h[k]exp(-jwk)

Burdaki
exp(jwn) ifadesi sistemin eigenvalue larını,
H(exp(jw)) = (k=-∞)∑(∞) h[k]exp(-jwk) ifadesi ise sistemin eigenfunction larını
göstermektedir. H(exp(jw)) sistemin frekans tepkisi olarak adlandırılır. Burda sistem yerine sinyali gösterecek şekilde, tüm h ler yerine x, ve H ler yerine de X , yazılırsa bu da sinyalin frekans bölgesi gösterimi ya da frekans spektrumu olarak adlandırılır. Sözkonusu değerler eksponansiyel formda olduklarından kompleks sayı olabilirler. Bu sayıların modülleri, sistemlerin genlik tepkisi, sinyallerin genlik spektrumunu; açıları ise, sistemlerin faz tepkisini, sinyallerin de faz spektrumunu verir.

	Sistem	Sinyal
H(exp(jw)) or X(exp(jw))	Frekans Tepkisi	Frekans Spektrumu
|H(exp(jw))| or |X(exp(jw))|	Genlik Tepkisi	Genlik Spektrumu
∢ H(exp(jw)) or ∢ X(exp(jw))	Faz Tepkisi	Faz Spektrumu