Konu 3 - Örnekleme

Sürekli zaman sinyalinin kesikli zaman sinyaline dönüştürülme işine örnekleme denir. Örnekleme kısaca sürekli zaman sinyalinin bir impulse fonksiyonu dizisiyle çarpılması ve çıkan sinyalin kesikli zamana dönüştürülmesi ile olur. Sözkonusu impulse fonksiyonu dizisinin sıklığı örnekleme frekansını verir. Daha doğrusu saniye başına geçen impulse sayısı örnekleme frekansıdır. Sürekli zaman sinyaliyle bu sinyalin çarpımı, genlikleri o anki sürekli zaman sinyalinin genliğine eşit olan impulse fonksiyonları dizisini verir. Ama elde edilen bu sinyal kesikli zaman sinyali değildir. Zira sinyalin impulse lar dışındada değerleri vardır ve bunlar sıfırdır. Kesikli zaman sinyaline dönüştürmek için bu impulse dizisi başka bir sisteme (burda açıklanmayacak) sokulur.

örnekleme

örneklenmiş sinyal

kesikli sinyal

s(t) = (n=-∞)∑(∞) (dirak)(t-nT)
Xs(t) = Xc(t)s(t)
Xs(Ω) = 1/T (k=-∞)∑(∞) Xc(Ω - kΩs)

Örnekleme yapılırken dikkat edilmesi gereken konu aliasing tir. Aliasing örneklenen sürekli zaman sinyalinin yüksek frekans bileşenlerinin, düşük frekans bileşeniymiş gibi görünmesi ve sonuçta sinyali tekrar oluşutururken yanlış oluşturulmasıdır. Eğer örnekleme frekansı örneklenen sinyalin en yüksek frekans bileşeninin iki katıdan fazla değilse bu olay meydana gelir. Aliasing in engellenmesi için örnekleme yapılmadan önce örneklenecek sinyal anti-aliasing denen bir alçak geçirgen süzgece sokulur. Böylece yüksek frekans bileşenleri elenerek düzgün bir örnekleme ve dolayısıyla düzgün bir yeniden oluşturma yapılır.

sürekli zaman sinyalinin tahmini frekans spektrumu

örneklenen sinyalin frekans spektrumu

2. şekilde görülen örneklenmiş sinyalin frekans spektrumundaki üçgenler, tepe değerlerini örnekleme frekansının katlarında alırlar. Eğer Ωm bu Ωs in yarısından fazla olursa bu üçgenlerin köşeleri birbirleriyle girişecektir. İşte bu olaya aliasing denir.

Sinyali tekrar oluşturmak için ideal reconstruction filter denilen alçak geçirgen bir süzgece sokarız. Bu süzgecin frekans bölgesi gösterimi bir dikdörtgendir yani kesme frekansı kesindir ve tek bir değerdir. Adından da anlaşılacağı gibi bu süzgeç idealdir yani gerçeklenemez. Bunun yerine gerçek hayatta zero order hold filtre ve başka bir alçak geçirgen filtre kullanılır. Her ne olursa olsun ilk örneklenen sinyal tam olarak birebir elde edilemez. Örnek olarak hiç bir dijital kayıt gerçek bir konserdeki kadar çok ses bileşenini bir arada içermez.

Analog-Sayısal Dönüştürücü

Şekilde görülen antialiasing filtre daha önce anlatıldı. Sample & Hold normal sampling işlemi yapar ve oluşan kesikli sinyal örneğini diğer örnek gelinceye kadar tutar. Bu sayede sinyal bir nevi kare dalga gibi görünür. Analog & Digital Dönüştürücü sistemi ise girişinde tek, çıkışında ise ikinin kuvvetleri şeklinde bacak sayısına sahip bir entegredir. Bu sistem girişindeki genlik seviyesini derecelendirir ve bu derecenin ikili sistemdeki değerini çıkışında gösterir. Örnek olarak diyelim ki 0-5V sinyal genliği aralığını 256 parçaya böldük. Girişteki sinyal genlik seviyesi bu derecelerden hangisine en yakınsa onun ikili sistemdeki değeri çıkışta görülecektir. yani örneğin giriş seviyesi 2,265745 olsun. Bu seviye bizim aralığı böldüğümüzde elde edeceğimiz 2,265625 değerine yakındır ve buna eşitmiş gibi kabul edilir. 2,265625 seviyesi böldüğümüzde elde ettiğimiz 116. değerdir. Sonuç olarak çıkışta 116 nın ikili değeri olan 01110100 değeri görülecektir. Böylece analog sinyalin dijitale dönüştürülme işlemi tamamlanmış olur.

Burda önemli olan başka bir konu da, nicemleme işlemi yaparken ne kadar hata yaptığımızdır. Bir takım istatiksel hesaplamaların yapılması gerekmektedir. Nicemleme esnasındaki böldüğümüz aralıkların boyutu Δ diyelim (az önceki örnekte 5 / 256 = 0.01953125). Eğer gerçek değer ile nicemlenmiş değer arasındaki fark (hata) e[n] ise bunun değerinin -Δ/2 ile Δ/2 arasında değer alacağı açıktır. Hata, herhangi başka bir değişkene bağlı olmadığı için olasılık yoğunluk fonksiyonumuzun, sınırları -Δ/2 ile Δ/2 olan ve yüksekliği 1/Δ olan bir dikdörtgen vuruş olduğu söylenebilir. Burdan da e nin beklenen değeri:

ε{e} = (-Δ/2)∫(Δ/2) e.1/Δ.de = 0

ve e nin varyansı:

ε{e^2} = (-Δ/2)∫(Δ/2) e^2.1/Δ.de = Δ^2 / 12

olur