Konu 5 - z Dönüşümü

z Dönüşümü -tam olarak anladığım bir konu olmasa da- -sanırım- sürekli zamanda işlemleri kolaylaştırmak için yapılan Laplace dönüşümünün kesikli zaman karşılığıdır. Dönüşüm şu şekildedir:

X(z) = (n=-∞)∑(∞) x[n].z^(-n)

Bu dönüşüm sinyal içindir eğer X yerine H ve x yerine de h yazılırsa bunun sistem için olan hali elde edilecektir. Biraz bakılırsa görülecektir ki fourier dönüşümü ile yakından ilgisi vardır. z = exp(jω) gibi düşünülürse direk olarak fourier dönüşümü (DTFT) elde edilmektedir. Bunun sebebi şöyle açıklanmaktadır: z bir kompleks sayıdır ve kutupsal formda r.exp(jω) olarak gösterilmektedir. Eğer r = 1 ise z dönüşümü fourier dönüşümü olmaktadır ama yarıçap birden farklı ise o zaman z dönüşümü olarak kalmaktadır. Kısaca z dönüşümünün fourier dönüşünü içerdiği söylenebilir.
Toplamın sınırlarının -∞ dan ∞ a olmasının sebebi ele alınan sistemin bilateral yani çift taraflı yani hem sağa yaslı hem sola yaslı olmasınından kaynaklıdır. Eğer ele alınan sistem örneğin nedensel bir sistem olsaydı bu sınırlar 0 dan ∞ a kadar olacaktı.
Aşağıdaki tabloda bazı sistemlerin z dönüşümleri verilmiştir.

Sequence	z-Transform	ROC
(dirak)[n]	1	All z
-u[n-1]	1/(1-z^(-1))	|z| < 1
u[n]	1/(1-z^(-1))	|z| > 1
(dirak)[n-m]	z^(-m)	All z except 0 if m > 0 except 1 if m < 0
a^n.u[n]	1/(1-a.z^(-1))	|z| > |a|
n.a^n.u[n]	(a.z^(-1))/((1-a.z^(-1))^2)	|z| > |a|

ROC (Region of Convergence - Yakınsama Bölgesi)
ROC, z Dönüşümünün en önemli kavramıdır. Elimizdeki fonksiyonun ∞ olmayan bir sayıya yakınsayacak şekilde z in alacağı değerlerin z plane üzerine çizilen bölgesidir. ROC sistem hakkında bir çok bilgi almamızı sağlar. Çizimi ise aşağıdaki özelliklere bakılarak yapılır.

1. ROC bir halka ya da bir disktir ve merkezi orjindedir.
2. H(z) de z yerine exp(jω) koyulunca fourier e yakınsayabilmesi için ROC un birim çemberi içermesi gerekir. Bu aynı zamanda sistemin kararlılık kriteridir.
3. ROC kutup içeremez
4. x[n] sınırlı sequence ise ROC tüm z plane dir. Belki 0 ı yada ∞ u içermeyebilir.
5. x[n] sağa yaslı ise ROC en dıştaki kutbun dışına doğru olur.
6. x[n] sola yaslı ise ROC en içteki kutbun içine doğru olur
7. x[n] çift taraflı bir sequence ise ROC en dıştaki kutuptan içeri en içteki kutuptan dışarı doğru olan bir ringtir.
8. ROC bağlantılı olmak zorundadır.

Burdaki önemli özellik ROC un birim çemberi içerdiği takdirde sistemin kararlı olması ve ROC un çizilirken içeri doğru ya da dışarı doğru yapılan çizimin sistemin nedenselliğine bağlı olmasıdır. Eğer sistem nedensel ise ROC dışarı doğru nedensel değilse içeri doğru çizim yapılır.

z Dönüşümünün özellikleri
1. Lineerlik
x[n]↔X(z)
x1[n]↔X1(z) ROC : R1
x2[n]↔X2(z) ROC : R2
a.x1[n] + b.x2[n] ↔ a.X1(z) + b.X2(z) ROC : R1 ∩ R2

2. Time Shifting
x[n -nd] ↔ X(z).z^(-nd) ROC : Rx

3. Multiplication by an exponantial sequence
Zo^n.X[n] ↔ X(z/Zo) ROC : |Zo|.Rx

4. X(z) 'n türevi
n.x[n] ↔ -z.dx(z)/dz ROC : Rx

5. Time Reversal
x[-n] ↔ x(1/z) ROC : 1/Rx

6. x1[n] * x2[n] ↔ X1(z).X2(z)