Konu 6 - kesikli fourier analizi

Aslında fourier ile ilgili her şey tek bir noktadan geçmektedir. Sinyalin ya da sistemin exp(jωn) ile çarpımının kendi sınırları üzerinden sürekli ise integralinin alınması, kesikli ise toplam yapılmasıdır. exp(jωn) fourier çekirdeği olarak adlandırılır ve bilinmesi gereken tek terimdir. Dönüşüm formüllerindeki diğer ekler sinyale bakılarak kolaylıkla çıkarılabilir.

DTFT
Discrete Time Fourier Transform (Kesikli zaman Fourier Dönüşümü) periyodik olmayan kesikli zaman sinyallerinin frekans spektrumunu, sistemlerin ise frekans tepkisini bulmaya yarar. Sinyalin kendisi kesikli olsa da elde edilen frekans spektrumu, sinyalin aperiyodik olmasından ötürü süreklidir. Dolayısıyla DTFT alırken toplam kullanılırken ters DTFT alınırken integral kullanılır.

DTFT: X(exp(jω)) = (n=-∞)∑(∞) x[n].exp(-jωn)

En başta da açıklandığı şekilde; sinyal aperiyodik olduğu için sınırlar -∞ dan ∞ a dır. Sinyal kesikli olduğu için ∑ gelmiştir ve de fourier çekirdeği koyulmuştur. Çekirdekte ki eksinin sebebi ters dönüşüm yaparken bunun 1/ sünün alınması gerekliliğidir. Yani burda değer pozitif alınabilir ve ters dönüşümde negatif alınabilir. Ama ileri dönüşümde negatif alınması bir literatür gereğidir. Kısacası hep öyle kullanılmıştır ve bu şekilde kullanılmaktadır.

IDTFT: x[n] = 1/2.π (0)∫(2.π) X(exp(jω)).exp(jωn).dω

Bu dönüşümde en baştaki 1/2.π merak uyandırabilir. Bunun koyulmasının sebebi -frekans spektrumunun periyodik olmasından ötürü- integralin sınırlarının 0 dan 2.π ye kadar gitmesinin, integral çözümünde ki değerlerin π li geleceğini göstermesidir. Bu değerlerin anlamı frekans değerlerinin açısal frekans olduğudur. Oysa biz sinyalin gösteriminde açısal frekansı değil gerçek frekansı kullanırız. İşte bu 1/2.π integral sonucunu normalize eder ve bize gerçek frekansı verir.

zaman bölgesi

frekans bölgesi

Dikkat : Çizimler tamamen uydurmadır.

DFS
Discrete Fourier Series(Kesikli Fourier Serileri) kesikli sinyal eğer periyodikse kullanılır. Sinyalin bir peryotundaki örnek sayısı N ile gösterilirse ωo = (2.π.k)/N diye tanımlanır. Burdaki k lar normalize edilmiş frekanslar olarak adlandırılır ve sinyalin sahip olduğu frekans bileşenlerini gösterirler.

DFS: ak = (n=0)∑(N) x[n].exp(-j.ωo.n)

DFS sonucu kesikli bir sinyaldir ve yine N tane frekansı gösterir. Ayrıca sonuç, DTFT deki gibi örnekleme frekansı ile periyodiktir.

DFT
Discrete Fourier Transform (Kesikli Fourier Dönüşümü) aslında bir tür DFS tir. Tüm kesikli fourier analizi konusunun en önemlisidir. Sadece sinyal işleme de değil özellikle matematik te ve fiziğin bir çok alanınında sıkça kullanılır. Bu işlem aperiyodik bir sinyalin fourier dönüşümünün alınmasını mümkün kılar. DTFT doğası gereği gerçeklenemez bir işlemdir. Bu yüzden aperiyodik sinyallerin analizinde DFT kullanılır ve bilgisayarların da bu işi yaparken kullandığı defacto yöntemdir. DFT aperiyodik bir sinyalin belli bir bölümünü alır ve sinyalinin tümünün bu bölümle periyodik olduğunu düşünür. Daha sonra bu bölümün DFS ini hesaplayıp bulduğu değerleri birbiriyle toplar.

DFT: x[k] = (n=0)∑(N-1) x[n].exp(-j.((2.π)/N).k.n)

şeklinde tanımlanır. Formülde gösterilen k lar da n ler de ayrı ayrı 0 dan N-1 e kadar değerler alırlar. Bu da N.N tane işlem yapılması gerektiğini göstermektedir.
Değerlerden biri eğer x[N] i alırsa karşılık olarak x[0] ın karşılığı gelir çünkü yapılan işlem aslında dairesel katlamadır ve bu da adından anlaşılacağı üzere en son değerin peşinden ilk değerin geldiği anlamını taşır.

DFT diğer yanda DTFT si alınan sinyalin frekans bölgesinde örneklenmesi olarak da karşımıza çıkar. Daha önceki çizimde görmüştük ki DTFT si alınan kesikli sinyal 2.π ile periyodik bir sürekli sinyal açığa çıkarmaktaydı. Eğer aynı sinyalin N örnekten oluşan DFT si hesaplanırsa sonuç, DTFT si alındığında elde edilen sonucun 2.π başına N impulse ile örneklenmiş hali olacaktır.

FFT
Fast Fourier Transform (Hızlı fourier dönüşümü) DFT nin özel bir durumudur. Eğer sinyalin içinden alınan bölümdeki örnek sayısı ikinin kuvvetleri şeklinde ise (N = 2^a) özel bir yöntemle yapılacak işlem sayısı log2(N).N e düşürülebilir. Yöntemin adı decimation in time dır ve burda açıklanmayacaktır. FFT nin kendine özel bir formülü yoktur. Sadece yapılacak işlem sayısı azaltılmıştır. Örneğin 16 örnekle yapılacak DFT işlemi 16.16=256 adım gerektirirken FFT işlemi, log2(16).16 = 4.16 = 64 adım gerektirir.

STFT
Short Time Fourier Transform (Kısa zaman fourier dönüşümü) aperiyodik bir sinyalin içinden sırayla alınan pencerelerin DFT lerinin hesaplanması ile gerçekleştirilir. Elde edilen fonksiyonlar 3-D eksene çizilir ve karşılaştırmalar burda yapılır. Çizim yapılırken iki eksen herzamanki gibi frekans ve genlik olacakken 3. eksen alınan bölümün indisini gösterecektir. 2-D eksene de çizim yapılır ve bunun adına ise spektrogram denir.