Konu 7 - DFT revisited

Bir önceki yazıda DFT nin frekans bölgesinde örnekleme olduğunu söylemiştik. Notlarıma baktığımda bu konuyla ilgili daha önemli bir şey göremiyorum. O yüzden bu yazıda biraz daha pratik bir bakış açısı sağlamaya çalışacağım.

Diyelim ki elimizde aperiyodik bir sinyale ait 487 örnek var bunun üzerinden DFT almamız gerekiyor. Bunu direk DFT alarak 487.487 tane işlem yapmak pek akıllıca değildir. Onun yerine elimizdeki sinyal üzerinde bir takım değişiklikler yaparak FFT almaya çalışmak daha mantıklı olacaktır. Bu işlem şöyledir: elimizdeki sinyali ikinin en yakın kuvvetine zero-pad yaparız yani, sinyalimize örnek sayısı o kuvvete ulaşana kadar sıfır ekleriz. Az önceki örnek te 487 ye en yakın ikinin kuvveti 512 olduğu için sinyali sonuna sıfırlar ekleyerek 512 ye uzatırız ve şimdiki sinyalle FFT hesaplarız. Bu sayede yapacağımız (ya da bilgisayarın yapacağı) işlem sayısı log2(512).512 = 9.512 ye azalmış olacaktır.

Frekans çözünürlüğü
Bu kavram kısaca, sinyalin tamamı üzerinde ne kadar hassas bir işlem yaptığımızı gösterir diyebiliriz. Çözünürlük, sinyalin örnekleme frekansının, aldığımız DFT örnek sayısına oranıdır. Örneğin az önceki sinyalin 8kHz ile örneklenmiş olduğunu düşünelim. Bu sinyalin bir saniye de 8000 örneğe sahip olduğunu gösterir. Eğer 512 örnek üzerinden DFT hesaplıyorsak çözünürlüğümüz 8000/512 = 15.625 olacaktır. Örneklenen sinyal örneğin 1kHz cosinus ise bizim aldığımız DFT, 1000/15.625 = 64 örnek yapar. Bu örneklenen sinyalin 64 örnekte gösterilebildiğini anlatır ve 64 tam sayı olduğundan DFT sonucunda doğru bir frekans bölgesi gösterimi yapabileceğimizi gösterir.

Spectral Leakage
Eğer örneklenen sinyal DFT alınırken tam bir sayıyla gösterilmezse spectral leakage (frekans akması) olayı meydana gelir. Örneğin az önceki sinyal 8kHz yerine 9kHz ile örneklenmiş olsaydı 64 yerine 56,88 gibi bir değer gelecekti. Bu değer o noktadaki frekansın değerini gösteremez. Daha doğrusu hem 56 hem 57 gibi gösterir. Bu yüzden kesin bir hesaplama yapamayız. Bu olayı engellemek için N i artırabilir yani DFT boyumuzu uzatabiliriz. Ama bu sefer de frekans çözünürlüğümüz azalacağından aldığımız DFT de bir frekans belirsizliği açığa çıkar. Frekans belirsizliği şudur: İki sinyal düşünün. Biri her yerinde hem 1 hem de 2kHz lik cosinus içersin, diğeri de zamanda yarısına kadar 1kHz diğer yarısında ise 2kHz lik cosinus içersin. Eğer DFT boyumuz zamanda her yeri kapsayacak kadar büyürse bu iki sinyal aynı sinyaller olmasa da frekans bölgesi gösterimleri aynı olacaktır. Belirsizlikten kastedilen de budur.